Muchas personas a lo largo de su vida, comienzan a ahorrar sin tener un plan de ahorro, simplemente apartan un porcentaje mensual de su sueldo y posteriormente proceden a introducirlo a una caja, al banco o abajo de su colchón, pero nunca se han planteado los límites de estas formas de ahorro.

Vamos a comenzar con la primera forma de ahorro que se da de forma natural si alguien no ha llevado una educación financiera a priori.

$f(t) = at$

Supongamos entonces que por año tienes la posibilidad de ahorrar 30 mil pesos, veamos cuantos años tardarías en ahorrar para comprarte un coche de 280 mil pesos, la operación es muy sencilla:

Inicialmente igualamos $f(t) = 280,000$, entonces obtenemos la ecuación siguiente:

$\$280,000 = \$30,000 t$

Despejamos el tiempo:

$t = \frac{\$280,000}{\$30,000} = 9.3$

De esta manera, obtenemos que t = 9.3 años.

Y como ya sabemos, no podemos continuar sin visualizar nuestro resultado, incluyo unas gráficas que he realizado:

Las personas que conocen un poco más de finanzas, saben que el dinero en el tiempo pierde valor por eso a lo que le llamamos "inflación" por lo que estas personas deciden meter su dinero por ejemplo a una caja de ahorro, donde le ofrezcan un cierto interés anual, la única condición para hacer válida esta forma de ahorro, es que la tasa de interés que te ofrezcan sea mayor a la inflación en tu país.

Vamos a entender el ahorro de forma anual, donde tenemos un monto inicial de ahorro y este año con año se le va sumando una cierta cantidad de interés, hagamos un sencillo ejemplo:

Consideremos que tenemos una inversión inicial de 3 mil unidades monetarias de cualquier divisa, con un interés anual del 15%, el cual es un poco alejado de la realidad ya que por lo general, ofrecen interés del 8% al 10% nominal, pero nos servirá para ejemplificar, observemos el gráfico siguiente:

Entonces, calculemos el 20% de 3,000... 3000(0.2) = 600.

Recordemos que el factor de 600 se multiplica acorde a los años, en el año 0 este factor vale 0, en el año 1, vale 600, en el año 2 vale 1200, en el año 3 vale 1800 y así sucesivamente.

De esta manera podemos formular el siguiente modelo matemático, donde t es el tiempo en años, Co es el capital inicial, i es el interés y C(t) es el capital final después de un cierto tiempo de años:

$C(t) = C_0+(C_0*i*t)$

Antes de continuar con el análisis y observar las gráficas de la función, tenemos que considerar algo del interés, como comentaba al inicio del artículo que para hacer válida esta forma de ahorro debe superar la inflación anual de nuestro país, entonces debemos definir algunos términos antes de continuar con nuestro estudio.

El GAT NOMINAL, es un indicador en porcentaje anual que permite comparar los rendimientos financieros en distintas cuentas de ahorro o de inversión antes de impuestos o inflación.

El GAT REAL, es este mismo indicador después de impuestos y de inflación por esto mismo se le denomina REAL.

Hay una fórmula muy sencilla para calcular el GAT REAL, lo único que debes saber es la inflación anual en tu pais y el impuesto que te será cobrado por tu inversión, pero para este caso solamente vamos a considerar la inflación.

$GAT_{real} = GAT_{nominal} - inflación$

Por supuesto, siempre hay que cuidar que el GAT real sea siempre positivo y mayor que cero.

Ahora si, podemos comenzar a hacer ciertas suposiciones para realizar un gráfico de nuestra función inicial, supongamos que una caja de ahorro nos da un interés anual del 5.6% a partir un capital de $100,000 pesos, también sabemos que la inflación anual de nuestro país es de 3.2% y queremos dejar nuestro capital durante 6 años, ¿ Cual será el capital final de nuestra inversión?

Antes de sustituir en nuestra función es necesario calcular el $GAT_{real}$:

$GAT{real} = 5.6\% - 3.2\% = 2.4\%$

Este será el interés que utilicemos para realizar nuestro cálculo de ahorro.

Vamos a retomar nuestra función $C(t) = C_0+(C_0*i*t)$ y vamos a sustituir los datos.

$C(6 años) = (\$100,000)+(\$100,000)(0.024)(6 años) = \$114,400 pesos$

Podemos observar como se comporta nuestra función en el gráfico:

Esta es una de las herramientas más poderosas para ahorrar tu dinero si es que decides NO invertirlo o si planeas hacer un fondo de retiro para cuando alcances la tercera edad, al final de este artículo vamos a comparar las 3 formas de ahorro, pero por lo pronto vamos a proseguir con el interés compuesto.

Vamos a tratar de deducir la fórmula:

Sabemos que del interés simple tenemos la siguiente fórmula, $C(t) = C_0+(C_0*i*t)$, para cuando t vale 1 tenemos la siguiente expresión, $C(t) = C_0+(C_0*i)$ o bien de otra forma, $C(t) = C_0 (1+i)$, por lo tanto este dato lo ponemos en la tabla del año 1.

Y como queremos calcular el interés al siguiente año sobre esta misma cantidad, entonces vamos a tener la siguiente expresión $C(t) = C_0 (1+i)(1+i) = C_0 (1+i)^2$ y así será sucesivamente calcular el interés compuesto de cada "nuevo" capital, por lo que nos queda de la siguiente forma la tabla de datos:

Notemos entonces que n es el periodo de años que han transcurrido desde que invertimos nuestro primer capital, por lo que lo reemplazamos por la variable t para indicar que hablamos de unidades de tiempo y nos queda finalmente la expresión para el interés compuesto de la siguiente forma:

$C(t) = C_0 (1+i)^t$

El interés compuesto tiene la particularidad de ir sumando interés sobre el interés ya generado, es decir, no se suma aparte, si no que se va sumando de forma iterada, vamos a ver un ejemplo para comprender de mejor forma, generamos una inversión con 100 pesos, con un interés del 7% durante 5 años, en periodo anual y lo vamos a ver representado en la tabla, también vamos a comprar directamente el mismo caso con el interés simple.

Podemos ver como a los pocos años se empieza a ver una diferencia en la cantidad de dinero ahorrada, pero fue un pequeño capital y simplemente a 5 años, ahora vamos a hacer la comparación de los modelos mediante gráficas y observaremos la gran diferencia que existe, vamos tomar una condicion inicial de 20 mil pesos como único capital inicial a un interés del 7.5% durante 20 años y vamos a ver como es que se comportan los modelos.

Como podemos observar el interés compuesto comienza a aumentar de forma mucho más rápida que el interés simple a lo largo de los años, es por esto que el interés compuesto es mucho mejor que el simple.

Ahora ya vimos que en el caso de interés simple lo que sucedía si anualmente depositábamos una cantidad extra, pero vamos a analizar que sucede si en el interés compuesto no nos quedamos con el capital inicial, si no que cada año abonamos una cierta cantidad para que se sume al interés compuesto.

Vamos entonces a tratar de deducir esta nueva fórmula, haciendo uso del interés compuesto.

Debemos considerar que periodo por periodo se va agregando un capital extra y a este se le aplica de nuevo el interés compuesto, finalmente obtenemos una nueva función C(t) para el interés compuesto con ingresos anuales a nuestra cuenta de ahorro.

$C(t) = C_0(1+i)^t+C_e+C_e(1+i)+C_e(1+i)^2+...+C_e(1+i)^{t-1}$

Solamente que esta forma de la función esta en términos de una serie y no es nada amigable trabajar con una función así, por lo tanto vamos a proceder a realizar algunos procedimientos matemáticos para su fácil manejo.

$C(t) = C_0(1+i)^t+C_e(1+\displaystyle\sum_{k=1}^{t-1}(1+i)^k)$

Para despejar t de esta función se requieren de algunos artificios matemáticos un poco más avanzados, por lo cual no iré más a fondo en este artículo, quizá en otro pueda explicar mejor esta fórmula, por lo pronto, puedes simplemente sustituir todos los parámetros y hacer la cuenta.

Podemos concluir entonces que el interés compuesto si piensas ahorrar, es la mejor forma para hacerlo.

Hasta aqui termina esta entrada, nos vemos a la próxima.